Bài 1:

ĐKXĐ:.............

Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):

\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)

Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$

Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)

Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)

Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)

\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)

Bài 2:

Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)

Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau

Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)

Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:

\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1-3t\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=6+3t\\y=1-3t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3x+y=7\Rightarrow3x+y-7=0\)

Vậy (d) có pt tổng quát là: \(3x+y-7=0\)

A và B nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi:

\(\left(3.1+2-7\right)\left(3.\left(-2\right)+m-7\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(m-13\right)>0\)

\(\Rightarrow m< 13\)

Câu 23:

Pt tham số d1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2-t'\\y=1+3t'\\z=1+2t'\end{matrix}\right.\)

Gọi M là giao điểm d1 và \(\left(\alpha\right)\) thì tọa độ M thỏa mãn:

\(2-t'+2\left(1+3t'\right)-3\left(1+2t'\right)-2=0\) \(\Rightarrow t'=-1\Rightarrow M\left(3;-2;-1\right)\)

Gọi N là giao điểm d2 và \(\left(\alpha\right)\) thì tọa độ N thỏa mãn:

\(1-3t+2\left(-2+t\right)-3\left(-1-t\right)-2=0\) \(\Rightarrow t=1\Rightarrow N\left(-2;-1;-2\right)\)

Đường thẳng thỏa mãn yêu cầu chính là đường thẳng MN

Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\left(-5;1;-1\right)\) nên MN nhận \(\left(-5;1;-1\right)\) là 1 vtcp

Phương trình MN: \(\frac{x-3}{-5}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}\)

Hic, bạn ghi sai đề câu này, làm mãi mấy lần ko thấy đáp án, nhìn đề trong giấy mới thấy khác :(

Câu 24:

\(\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(-10;4;6\right)=2\left(-5;2;3\right)\)

\(\Rightarrow\) Mặt phẳng nhận \(\left(-5;2;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(-5x+2y+3\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow-5x+2y+3z+3=0\)

Câu 25:

Đường thẳng d nhận \(\left(1;-2;2\right)\) là 1 vtcp

Gọi (P) là mp qua M và vuông góc d thì (P) nhận (1;-2;2) là 1 vtpt

Phương trình (P):

\(1\left(x-2\right)-2\left(y-3\right)+2\left(z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2y+2z+6=0\)

Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1-2t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)

H là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(4+t-2\left(1-2t\right)+2\left(5+2t\right)+6=0\)

\(\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left(2;5;1\right)\)

\(B\in d\)=> B ( 7-2m; -3 +m) 

\(B'\in d'\)=> B' ( -5 + 4t ; -7 + 3t ) 

Mà A; B;B' \(\in\)\(\Delta\) và AB = AB' 

=> \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B'A}\)

=> \(\hept{\begin{cases}7-2m-2=2+5-4t\\-3+m+3=-3+7-3t\end{cases}}\)<=>  m = 1; t = 1 

=> B(5 ; -2); C( -1; - 4) 

=> Viết phương trình d :....